私がマニュアルトランスミッションに乗っていた頃は、燃料を節約するために、長くて浅い登り坂ではニュートラルにシフトする癖がついていた。今はオートマチック（具体的には最近のカローラ）に乗っていますが、まだそれを続けています。
しかし、最近誰かが言っていたのですが、移動中にニュートラルにしていると、オートマチックトランスミッションが過熱する原因になるそうです。
これは正しいのでしょうか？
どちらにしても燃費に違いはないと思います。エンジンが回転しているときはいつでも、トランスミッションのフロントポンプはトルクコンバーターによって回転しており、トランスミッションに潤滑油を供給しています。
それがトランスミッションの早期故障の原因になるとは思えません。技術的には、これをしようと決めたときには、ギアからシフトアウトしてギアに戻るということになりますが、通常のシフトと何ら変わりはありませんので、余分な摩耗を引き起こすことはないはずです。
オートマチックトランスミッションは、マニュアルトランスミッションと同様に動作するように設計されています。オートマチックトランスミッションで惰性走行をしている場合、やっていることはマニュアルトランスミッションで惰性走行をしている場合と同じです。
エンジンがかかっていて、トランスミッションポンプが作動している場合は、ボックスを損傷することはできません。しかし、欠点は：高速で噛み合っているときにクラッチをスリップさせることによって、それがあなたのクラッチを徐々に燃やすことができるので、高速ではDにそれを入れようとしないでください。
そしてそれはあなたのポケットに穴を開けることになります。
理論的には箱にダメージを与えることはできませんが、安全のためには車のマニュアルのガイドラインに従った方が良いでしょう。
(元の答えに編集してください。理論的には間違った情報を提供しています。)
エンジンがかかっている限り、ニュートラルでオートマチックでコースティングしても問題ありません。エンジンを完全に止めてコースティングすると（レッカーされている時によくあることですが）、トランスミッションを損傷させてしまう可能性があります。
その理由は、トランスミッションは潤滑と冷却のために液体を循環させており、この循環はエンジンによって動力を得ているからです。エンジンをかけずに駆動輪を回転させると（コースティングや牽引されているとき）、十分な潤滑や冷却が行われないままトランスミッションの部品が動いてしまい、その結果、トランスミッションの摩耗が早くなってしまいます。
それが燃料を節約するかどうか、および/またはオートトランジニにとって有害であるかどうかは、すべて問題の車両に依存します。
エンジンが動いている限り、トルクコンバーターを回転させています。これにより、すべてのバンド、クラッチ、サーボなどに潤滑油が供給されます。ギアに戻るときには、ストップサインや赤信号などの信号を無視していると、車がその道路の速度でやっているであろう回転数に合わせてエンジンの回転数を少し上げるのに役立つかもしれません。そうすることで、内部への衝撃的な負荷を軽減することができます。
燃料の節約に関しては、車にもよりますが、カービーカーや初期のインジェクション車では、間違いなく燃料を節約することができます。より高度な電子機器を搭載した後期の車両では、燃費は異なるかもしれません。いくつかの車両は、すべての/ほとんどのインジェクターに燃料をカットします 閉じたスロットル位置で。アイドル状態では、ニュートラル状態では、すべてのシリンダーがエンジンをスムーズに動かすために燃料を得ています。
別のサイトで読んだことがあるのですが、ある人があらゆる機会にニュートラルにシフトする習慣を身につけていたために、トランスミッションの何らかの機構を摩耗させてしまったという話をしていました。それ以外は、トランスミッションを傷つけることはありません。エンジンはトランスミッションのフルードポンプを作動させ続けます。古いトランスミッションの中にはデュアルポンプを搭載しているものもあり、エンジンをかけずに長距離を牽引できるようになっています。
注意事項があります。アメリカのいくつかの州では、ニュートラルで坂道を惰性で下ることを禁止する法律があります。これはブレーキの使用量が増え、安全性や責任の問題を引き起こすことに関係していると想像します。エンジンをギアに入れたままにしておくと、多少の抵抗が発生します。長距離を走行する場合は、ブレーキをかけるよりもエンジンをギアに戻した方が良いでしょう。